№53
Вопрос
Номер 1
Какие из пар (7; 2), (3; – 2), (– 1; – 6) являются решением системы уравнений $$\left\{\begin{array}{c}x-y=5, \\2 x+3 y=0?\end{array}\right.$$
(7; 2) $$\left\{\begin{array}{c}x-y=5 \\2 x+3 y=0\end{array}\right.$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
7-2=5 \\
2 \cdot 7+3 \cdot 2=0
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
5=5 \\
20=0
\end{array}\right.
$$
— не верно Значит, данная пара не является решением. (3; – 2) $$\left\{\begin{array}{c}x-y=5 \\2 x+3 y=0\end{array}\right.$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
3-(-2)=5 \\
2 \cdot 3+3 \cdot(-2)=0
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
5=5 \\
0=0
\end{array}\right.
$$
— верно Значит, данная пара является решением. (– 1; – 6) $$\left\{\begin{array}{c}x-y=5 \\2 x+3 y=0\end{array}\right.$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
-1-(-6)=5 \\
2 \cdot(-1)+3 \cdot(-6)=0
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
5=5 \\
-20=0
\end{array}\right.
$$
— не верно Значит, данная пара не является решением. Ответ: (3; – 2).
(7; 2)
$$\left\{\begin{array}{c}x-y=5 \\2 x+3 y=0\end{array}\right.$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
7-2=5 \\
2 \cdot 7+3 \cdot 2=0
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
5=5 \\
20=0
\end{array}\right.
$$
— не верно
Значит, данная пара не является решением.
(3; – 2)
$$\left\{\begin{array}{c}x-y=5 \\2 x+3 y=0\end{array}\right.$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
3-(-2)=5 \\
2 \cdot 3+3 \cdot(-2)=0
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
5=5 \\
0=0
\end{array}\right.
$$
— верно
Значит, данная пара является решением.
(– 1; – 6)
$$\left\{\begin{array}{c}x-y=5 \\2 x+3 y=0\end{array}\right.$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
-1-(-6)=5 \\
2 \cdot(-1)+3 \cdot(-6)=0
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
5=5 \\
-20=0
\end{array}\right.
$$
— не верно
Значит, данная пара не является решением.
Ответ
(3; – 2).
Вопрос
Номер 2
Решите графически систему линейных уравнений $$
\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{x}+\mathrm{y}=0, \\
2 \mathrm{x}-\mathrm{y}=-3 .
\end{array}\right.
$$
\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{x}+\mathrm{y}=0 \\
2 \mathrm{x}-\mathrm{y}=-3 .
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=-x \\
y=2 x+3
\end{array}\right.
$$ (– 1; 1) — решение системы уравнений
$$
\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{x}+\mathrm{y}=0 \\
2 \mathrm{x}-\mathrm{y}=-3 .
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=-x \\
y=2 x+3
\end{array}\right.
$$
(– 1; 1) — решение системы уравнений
Ответ
(– 1; 1).
Вопрос
Номер 3
Выясните, имеет ли система линейных уравнений решения и сколько:
а) $$
\left\{\begin{array}{c}
3 x-y=5, \\
6 x+2 y=10;
\end{array}\right.
$$ б) $$
\left\{\begin{array}{c}
3 x-y=5, \\
15 x-5 y=25;
\end{array}\right.
$$ в) $$
\left\{\begin{array}{c}
3 x-y=5, \\
9 x-3 y=1.
\end{array}\right.
$$
а) $$
\left\{\begin{array}{c}
3 x-y=5, \\
6 x+2 y=10;
\end{array}\right.
$$
б) $$
\left\{\begin{array}{c}
3 x-y=5, \\
15 x-5 y=25;
\end{array}\right.
$$
в) $$
\left\{\begin{array}{c}
3 x-y=5, \\
9 x-3 y=1.
\end{array}\right.
$$
а) $$
\left\{\begin{array}{c}
3 x-y=5 \\
6 x+2 y=10
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y =3 x-5 \\
6 x+2 y=10
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=3 x-5 \\
6 x+2(3 x-5)=10
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y =3 x-5 \\
6 x+6 x - 10=10
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y =3 x-5 \\
12 x=20
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=3 x-5 \\
x=1 \frac{2}{3}
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{y}=3 \cdot 1 \frac{2}{3}-5 \\
\mathrm{x}=1 \frac{2}{3}
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=5-5 \\
\mathrm{x}=1 \frac{2}{3}
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=0 \\
\mathrm{x}=1 \frac{2}{3}
\end{array}\right.
$$ Система имеет одно решение — (1 2/3 ; 0). б) $$
\left\{\begin{array}{c}
3 x-y=5 \\
15 x-5 y=25
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=3 x-5 \\
15 x-5 y=25
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=3 x-5 \\
15 x-5(3 x-5)=25
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=3 x-5 \\
15 x-15 x +25=25
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=3 x-5 \\
25=25
\end{array}\right.
$$
⇒ Система имеет бесконечно много решений. в) $$
\left\{\begin{array}{c}
3 x-y=5 \\
9 x-3 y=1
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=3 x-5 \\
9 x-3 y=1
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=3 x-5 \\
9 x-3(3 x-5)=1
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=3 x-5 \\
9 x-9 x +15=1
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=3 x-5 \\
15 \neq 1
\end{array}\right.
$$
⇒ Система не имеет решений.
а) $$
\left\{\begin{array}{c}
3 x-y=5 \\
6 x+2 y=10
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y =3 x-5 \\
6 x+2 y=10
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=3 x-5 \\
6 x+2(3 x-5)=10
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y =3 x-5 \\
6 x+6 x - 10=10
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y =3 x-5 \\
12 x=20
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=3 x-5 \\
x=1 \frac{2}{3}
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
\mathrm{y}=3 \cdot 1 \frac{2}{3}-5 \\
\mathrm{x}=1 \frac{2}{3}
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=5-5 \\
\mathrm{x}=1 \frac{2}{3}
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=0 \\
\mathrm{x}=1 \frac{2}{3}
\end{array}\right.
$$
Система имеет одно решение — (1 2/3 ; 0).
2/3
б) $$
\left\{\begin{array}{c}
3 x-y=5 \\
15 x-5 y=25
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=3 x-5 \\
15 x-5 y=25
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=3 x-5 \\
15 x-5(3 x-5)=25
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=3 x-5 \\
15 x-15 x +25=25
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=3 x-5 \\
25=25
\end{array}\right.
$$
⇒
Система имеет бесконечно много решений.
в) $$
\left\{\begin{array}{c}
3 x-y=5 \\
9 x-3 y=1
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=3 x-5 \\
9 x-3 y=1
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=3 x-5 \\
9 x-3(3 x-5)=1
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=3 x-5 \\
9 x-9 x +15=1
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=3 x-5 \\
15 \neq 1
\end{array}\right.
$$
⇒
Система не имеет решений.
Вопрос
Номер 1
Какие из пар (1; 2), (– 1; 3), (7; – 1) являются решением системы уравнений $$
\left\{\begin{array}{c}
x+2 y=5, \\
3 x-y=-6 ?
\end{array}\right.
$$
(1; 2) $$
\left\{\begin{array}{c}
x+2 y=5, \\
3 x-y=-6
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
1+2 \cdot 2=5 \\
3 \cdot 1-2=-6
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
5=5, \\
1=-6
\end{array}\right.
$$
— не верно Значит, данная пара не является решением. (– 1; 3) $$
\left\{\begin{array}{c}
x+2 y=5, \\
3 x-y=-6 ?
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
-1+2 \cdot 3=5 \\
3 \cdot(-1)-3=-6
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
5=5, \\
-6=-6
\end{array}\right.
$$
— верно Значит, данная пара является решением. (7; – 1) $$
\left\{\begin{array}{c}
x+2 y=5, \\
3 x-y=-6 ?
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
7+2 \cdot(-1)=5 \\
3 \cdot 7+1=-6
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
5=5, \\
22=-6
\end{array}\right.
$$
— не верно Значит, данная пара не является решением. Ответ: (– 1; 3).
(1; 2)
$$
\left\{\begin{array}{c}
x+2 y=5, \\
3 x-y=-6
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
1+2 \cdot 2=5 \\
3 \cdot 1-2=-6
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
5=5, \\
1=-6
\end{array}\right.
$$
— не верно
Значит, данная пара не является решением.
(– 1; 3)
$$
\left\{\begin{array}{c}
x+2 y=5, \\
3 x-y=-6 ?
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
-1+2 \cdot 3=5 \\
3 \cdot(-1)-3=-6
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
5=5, \\
-6=-6
\end{array}\right.
$$
— верно
Значит, данная пара является решением.
(7; – 1)
$$
\left\{\begin{array}{c}
x+2 y=5, \\
3 x-y=-6 ?
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
7+2 \cdot(-1)=5 \\
3 \cdot 7+1=-6
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
5=5, \\
22=-6
\end{array}\right.
$$
— не верно
Значит, данная пара не является решением.
Ответ
(– 1; 3).
Вопрос
Номер 2
Решите графически систему линейных уравнений $$
\left\{\begin{array}{c}
2 x-y=0 \\
x+y=3
\end{array}\right.
$$
\left\{\begin{array}{c}
2 x-y=0 \\
x+y=3
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=2 x \\
y=3- x
\end{array}\right.
$$ (1; 2) — решение системы уравнений
$$
\left\{\begin{array}{c}
2 x-y=0 \\
x+y=3
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=2 x \\
y=3- x
\end{array}\right.
$$
(1; 2) — решение системы уравнений
Ответ
(1; 2).
Вопрос
Номер 3
Выясните, имеет ли система линейных уравнений решения и сколько:
а) $$
\left\{\begin{array}{c}
4 x+y=6, \\
8 x+2 y=12;
\end{array}\right.
$$ б) $$
\left\{\begin{array}{c}
4 x+y=6, \\
12 x-3 y=18;
\end{array}\right.
$$ в) $$
\left\{\begin{array}{c}
4 x+y=6, \\
2 x+\frac{1}{2} y=9?
\end{array}\right.
$$
а) $$
\left\{\begin{array}{c}
4 x+y=6, \\
8 x+2 y=12;
\end{array}\right.
$$
б) $$
\left\{\begin{array}{c}
4 x+y=6, \\
12 x-3 y=18;
\end{array}\right.
$$
в) $$
\left\{\begin{array}{c}
4 x+y=6, \\
2 x+\frac{1}{2} y=9?
\end{array}\right.
$$
а) $$
\left\{\begin{array}{c}
4 x+y=6 \\
8 x+2 y=12
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6 - 4 x\\
8 x+2 y=12
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6-4 x \\
8 x+2(6-4 x)=12
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6-4 x \\
8 x+ 12 -8x=12
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6-4 x \\
12=12
\end{array}\right.
$$
⇒ Система имеет бесконечно много решений. б) $$
\left\{\begin{array}{c}
4 x+y=6 \\
12 x-3 y=18
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6 -4 x\\
12 x-3 y=18
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6 -4 x\\
12 x-3(6-4 x)=18
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6 -4 x\\
12 x-18+12 x =18
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6 -4 x\\
24 x =36
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6 -4 x\\
x =1,5
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6 -4 ·1,5\\
x =1,5
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6 -6\\
x =1,5
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=0\\
x =1,5
\end{array}\right.
$$ Система имеет одно решение — (1,5; 0). в) $$
\left\{\begin{array}{c}
4 x+y=6 \\
2 x+\frac{1}{2} y=9
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6-4 x \\
2 x+\frac{1}{2} y=9
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6-4 x \\
2 x+\frac{1}{2}(6-4 x)=9
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6-4 x \\
2 x+3-2 x=9
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6-4 x \\
3 \neq 9
\end{array}\right.
$$
⇒ Система не имеет решений.
а) $$
\left\{\begin{array}{c}
4 x+y=6 \\
8 x+2 y=12
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6 - 4 x\\
8 x+2 y=12
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6-4 x \\
8 x+2(6-4 x)=12
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6-4 x \\
8 x+ 12 -8x=12
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6-4 x \\
12=12
\end{array}\right.
$$
⇒
Система имеет бесконечно много решений.
б) $$
\left\{\begin{array}{c}
4 x+y=6 \\
12 x-3 y=18
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6 -4 x\\
12 x-3 y=18
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6 -4 x\\
12 x-3(6-4 x)=18
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6 -4 x\\
12 x-18+12 x =18
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6 -4 x\\
24 x =36
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6 -4 x\\
x =1,5
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6 -4 ·1,5\\
x =1,5
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6 -6\\
x =1,5
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=0\\
x =1,5
\end{array}\right.
$$
Система имеет одно решение — (1,5; 0).
в) $$
\left\{\begin{array}{c}
4 x+y=6 \\
2 x+\frac{1}{2} y=9
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6-4 x \\
2 x+\frac{1}{2} y=9
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6-4 x \\
2 x+\frac{1}{2}(6-4 x)=9
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6-4 x \\
2 x+3-2 x=9
\end{array}\right.
$$
⇒
$$
\left\{\begin{array}{c}
y=6-4 x \\
3 \neq 9
\end{array}\right.
$$
⇒
Система не имеет решений.
